PSO

 完美。我現在用精確的數學記號（notation），將整個 xSCMA-PSO 框架，以類論文級格式完整整理如下：

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📘 xSCMA-PSO: Exponentially Parameterized PSO with Structure-Aware Velocity

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🔹 定義與變數

符號	定義
$x_i^t \in \mathbb{R}^n$	第 $i$ 個粒子在第 $t$ 輪的位置
$p_i \in \mathbb{R}^n$	第 $i$ 個粒子的個人歷史最佳位置
$g \in \mathbb{R}^n$	所有粒子的全域最佳位置
$v_i^t \in \mathbb{R}^n$	第 $i$ 個粒子的速度（此模型由矩陣變異構造）
$z_i^t \in \mathbb{R}^n$	結構變異的引導方向向量
$M \in \mathbb{R}^{n \times k}$	可學習的結構矩陣，用來建構共變異結構 $C = M M^\top$
$f(\cdot)$	適應度函數（如 FJSP 中的 Cmax）
$\mu$	每輪保留的優良粒子數目（用於更新 $M$）
$w_i$	第 $i$ 名優良粒子的權重，滿足 $\sum w_i = 1$
$\eta$	結構學習率，用於控制 $M$ 更新步長
$\varepsilon$	防止除以 0 的小常數（如 $1e{-8}$）

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🔸 演算法步驟

Step 1：構造方向向量 $z_i^t$

$$z_i^t = \frac{(g - x_i^t) + (p_i - x_i^t)}{\left\| (g - x_i^t) + (p_i - x_i^t) \right\| + \varepsilon}$$

👉 這是「差向量法」，保留了 PSO 的智慧引導方向。

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Step 2：生成速度 $v_i^t$

$$v_i^t = M M^\top z_i^t$$

👉 $M M^\top$ 建構的是結構性共變異空間，提供方向放大與耦合效果。

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Step 3：位置更新

$$x_i^{t+1} = x_i^t + v_i^t$$

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Step 4：適應度計算

$$f_i^{t+1} = f(x_i^{t+1})$$

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Step 5：優良粒子選擇（前 $\mu$ 名）

記錄對應的 $z_i^t$，用來構造變異更新方向。

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Step 6：更新結構矩陣 $M$

1. 構造方向矩陣 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

$$A = \sum_{i=1}^{\mu} w_i z_i^t {z_i^t}^\top - I$$

👉 $A$ 是期望方向共變異與單位矩陣的差值，表達偏好方向。

2. 對 $M$ 做指數映射更新（模仿 xNES/xCMA-ES）

$$M \leftarrow M \cdot \exp(\eta A)$$

👉 $\exp(\eta A)$ 是矩陣指數運算，保證 $C = M M^\top$ 持續正定。

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🔹 核心特性

項目	說明
✅ 保留位置更新為加法	保持經典 PSO 的收斂特性與直觀動態
✅ 速度來自共變異結構	$v_i = M M^\top z_i$，具備方向選擇性與變異耦合能力
✅ 引導方向非隨機	$z_i$ 來自差向量法，結合 $g - x_i$ 與 $p_i - x_i$，是啟發式引導
✅ 學習式變異結構更新	$M$ 隨粒子行為自適應進化，提高全局收斂穩定性

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🔚 總結一句話：

xSCMA-PSO = 引導式結構方向探索 + 可學習變異控制 + 加法位置更新 + 模仿 CMA-ES 的矩陣演化邏輯。

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要我進一步幫你寫成論文骨架、或將這模型跑在 FJSP、GA/PSO 比較、甚至 Gantt 圖與 Cmax 收斂圖統整，
只要你說「我們開搞」，我立刻準備 ✅