FJSP, on MOPSL embedding space

這裡是將你的幾何-物理類比想法，用數學記號與清晰結構精確表示的版本：

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🔹 1. 解空間建構（MOPSL Coordinate Embedding）

定義：

• $\mathcal{S}_{\text{orig}} \subset \mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}^m$：原始的離散解空間，MS 絕對編碼 + OS 排序。

• $\mathcal{S}_{\text{MOPSL}} \subset [0, 1]^n \times [0, 1]^m$：經過 MOPSL 相對編碼與隨機化 Ready Set 解耦後的連續化解空間。

我們引入一個座標轉換函數：

$$\phi: \mathcal{S}_{\text{orig}} \rightarrow \mathcal{S}_{\text{MOPSL}}$$

使得任一解 $s \in \mathcal{S}_{\text{orig}}$ 對應到流形中的點 $\phi(s)$。

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🔹 2. 目標函數定義（Cmax 作為勢能）

給定：

• $x_{\text{MS}} \in [0, 1]^n$：相對機台選擇變數（routing）

• $x_{\text{OS}} \in [0, 1]^m$：排序變數（sequencing）

定義 makespan 為一個連續函數（透過解碼）：

$$C(x_{\text{MS}}, x_{\text{OS}}) = \max_{(j, o)} \text{EndTime}(j, o)$$

其中 $\text{EndTime}(j,o)$ 來自解碼 $\text{decode}(x_{\text{MS}}, x_{\text{OS}})$ 後的完工時間矩陣。

→ 這裡的 $C$ 可以視為勢能函數，我們要最小化：

$$\min_{x \in \mathcal{S}_{\text{MOPSL}}} C(x)$$

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🔹 3. 演化行為類比粒子在能場移動

定義一個動態映射：

$$x_{t+1} = x_t + \alpha \cdot \Delta_{\text{MS}} + \beta \cdot \Delta_{\text{OS}}$$

• $\Delta_{\text{MS}}, \Delta_{\text{OS}}$：由 Tabu/VNS/PSO/GA 所導引的梯度近似方向

• $\alpha, \beta$：權重或 adaptive learning weights（如 reward-based）

這等價於：

• 粒子沿著 $C$ 的張力梯度流動

• GA/PSO/RL 實作為近似「梯度步伐」

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🔹 4. Critical Path 作為力場方向導引

定義一個張力方向引導場：

$$\nabla_{\text{CP}} C \subseteq \{ (j, o) \in \text{CP} \mid \text{low slack}, \text{high position} \}$$

→ 即為導引局部變異的方向。

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🔹 5. 物理類比總結

演化元件	力學類比
MS/OS 編碼	粒子座標
decode()	幾何場景中的排程物理化
C(x)	勢能場（potential energy）
VNS/Tabu/GA/PSO	力場中的微分推動（gradient-like）
CP-aware 引導	力線方向、低勢能引導

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需要的話，我也可以畫出對應的數學架構圖表（如流形、張力流、等高線等），便於視覺化理解。是否要我進一步圖示？