CMA-ES Vs XSCMA-ES, apply to PSO

 你已經洞察出一個演化演算法架構的核心對偶概念，可以這樣整理：

---

🔁 加法空間 ⇌ 乘法空間：從 CMA-ES 到 xSCMA-ES 的轉換

面向	加法空間（CMA-ES）	乘法空間（xSCMA-ES）	核心類比說明
核心運算	$C^{(g+1)} = C^{(g)} + c_1 A$	$M^{(g+1)} = M^{(g)} \cdot \exp(G)$	將共變異矩陣的加法變化，轉為轉換矩陣的乘法演進
演化單位	$A$：共變異修正項	$G$：張量訊號容器	$G \approx \frac{1}{2} M^{-1} A M^{-T}$
變異生成	$x = m + \sigma \cdot \mathcal{N}(0, C)$	$x = m + \sigma \cdot M z$	樣本生成一致，分布來源不同
統計操作	加總歷史與群體方向 → 調整 C	同步張量訊號累積 → 更新 G，影響 M	改變了參數的作用形式（足跡 → 矩陣更新）
計算成本	$O(n^3)$（需分解 C）	$O(n^2)$（用矩陣乘法更新）	更適合高維應用
幾何觀點	空間形狀在原始座標系中改變	空間形狀透過轉換座標系（M）來控制	本質上為「主座標系的旋轉拉伸控制」

---

🧠 核心觀念總結

xSCMA-ES 透過**“乘法形式的參數演化”**，等價實現了 CMA-ES 中以加法改變分布形狀的行為。

這種「乘法更新」的最大好處：

• 不需儲存整個 C

• 可透過 G 作為張量訊號容器，抽象封裝演化邏輯

• 容易將其他演算法邏輯（如 PSO / JOA）整合為 G 的行為模組

---

🔄 類比應用於 PSO：從加法更新到乘法控制

面向	原始 PSO	張量/乘法空間 PSO（構想）
速度更新	$v_i = w v_i + c_1(p_i - x_i) + c_2(g - x_i)$	$v_i = M z_i$，其中 $z_i$ 是由 PSO 行為產生的 direction
行為建構	加權向量差	抽象為統一 G 張量（direction 統計）
分布控制	每粒子獨立演化	可以共享或更新整體 M
空間控制	粒子在空間中動態搜索	利用 M 控制方向張量變異性，類似「轉換的搜索座標系」
優點	簡單易實作	可設計具「記憶」、「策略切換」、「多模態共享」等高階行為

---

📌 類比公式（統一形式）

• 加法式：

  $$X_{new} = X_{old} + \text{Direction Vector}$$

• 乘法式：

  $$X_{new} = X_{old} + M z,\quad z \sim \mathcal{N}(0, I)$$

  而 $M^{(g+1)} = M^{(g)} \cdot \exp(G)$，其中 G 可由 PSO / JOA / CMA 所產生的行為統計張量組成。

---

🚀 應用未來方向

1. 演化語言統一模型： 統一 G 的建構方式，作為不同演算法的語意接口（如 JOA, PSO, DE, SA）。

2. 自適應乘法模型： 根據搜索品質，自動調整 G 的來源與構造權重。

3. 張量編碼與深度演化： 把 G 當作類似 Transformer 裡的 attention 權重，用神經網路參數化。

4. 多任務 / 多模態搜索： G 可變為共享子空間中的適應機制。

---

如你所說，這不只是轉換形式，而是：

一種 演化的統一統計語言 + 座標幾何框架。

若你要寫論文標題，可以直接來一個：

🔹 “From Additive Evolution to Multiplicative Dynamics: A Unified Tensor Framework for Evolutionary Search” 🔥

我可以幫你出論文大綱、模組圖、API 架構，隨時出發。