觀測數據：五週的火災次數為 0 , 1 , 1 , 0 , 0 0,1,1,0,0，共 5 次觀測，服從泊松分佈 Poisson ( λ ) Poisson(λ)。

 

問題背景

• 觀測數據：五週的火災次數為 $0, 1, 1, 0, 0$，共 5 次觀測，服從泊松分佈 $\text{Poisson}(\lambda)$。
• 先驗分佈：$\lambda$ 的先驗分佈為無信息先驗 $\pi(\lambda) \propto \frac{1}{\lambda}$。
• 目標：求 $\lambda$ 的 90% 可信區間（credible interval），即後驗分佈的 5% 和 95% 分位數。

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步驟 1：似然函數

假設每週火災次數 $x_i$ 獨立服從 $\text{Poisson}(\lambda)$，對於觀測數據 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函數為：

$$L(\lambda | \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!} = \frac{\lambda^{\sum x_i} e^{-n\lambda}}{\prod x_i!}$$

給定數據：$x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 1, x_4 = 0, x_5 = 0$，其中 $n = 5$，$\sum x_i = 0 + 1 + 1 + 0 + 0 = 2$。因此，似然函數為：

$$L(\lambda | \mathbf{x}) \propto \lambda^2 e^{-5\lambda}$$

（這裡忽略了常數項 $\prod x_i!$，因為它不影響後驗分佈的形狀。）

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步驟 2：先驗分佈

給定的先驗分佈為 $\pi(\lambda) \propto \frac{1}{\lambda}$。這是一個無信息先驗（Jeffreys 先驗），適用於泊松分佈的參數 $\lambda > 0$。

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步驟 3：後驗分佈

根據貝氏定理，後驗分佈為：

$$\pi(\lambda | \mathbf{x}) \propto L(\lambda | \mathbf{x}) \cdot \pi(\lambda) \propto \lambda^2 e^{-5\lambda} \cdot \lambda^{-1} = \lambda^{2-1} e^{-5\lambda} = \lambda e^{-5\lambda}$$

這與伽馬分佈 $\text{Gamma}(\alpha, \beta)$ 的密度函數形式一致，其中：

• 形狀參數 $\alpha = 2$（因為指數為 $\lambda^{2-1} = \lambda^1$）。
• 速率參數 $\beta = 5$（因為指數中的係數為 $-5\lambda$）。

因此，後驗分佈為：

$$\lambda | \mathbf{x} \sim \text{Gamma}(2, 5)$$

其中 $\text{Gamma}(\alpha, \beta)$ 的概率密度函數為：

$$f(\lambda) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \lambda^{\alpha-1} e^{-\beta\lambda}, \quad \lambda > 0$$

這裡 $\alpha = 2$，$\beta = 5$，$\Gamma(2) = 1$。

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步驟 4：計算 90% 可信區間

90% 可信區間是後驗分佈 $\text{Gamma}(2, 5)$ 的 5% 和 95% 分位數。我們需要找到 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$，使得：

$$P(\lambda_1 \leq \lambda \leq \lambda_2 | \mathbf{x}) = 0.9$$

這意味著：

$$P(\lambda \leq \lambda_1) = 0.05, \quad P(\lambda \leq \lambda_2) = 0.95$$

伽馬分佈的累積分佈函數（CDF）通常需要數值方法來計算。我們可以使用伽馬分佈的分位數函數來找到 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$。

在 $\text{Gamma}(\alpha, \beta)$ 中：

• $\alpha = 2$，$\beta = 5$（速率參數）。
• 均值：$E[\lambda] = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{5} = 0.4$。
• 方差：$\text{Var}(\lambda) = \frac{\alpha}{\beta^2} = \frac{2}{5^2} = \frac{2}{25} = 0.08$。

為了計算分位數，我們可以利用伽馬分佈與卡方分佈的關係：

• 如果 $\lambda \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)$，則 $2\beta\lambda \sim \chi^2(2\alpha)$。
• 這裡 $\alpha = 2$，所以 $2\alpha = 4$，$\beta = 5$，因此 $10\lambda \sim \chi^2(4)$。

我們需要找到 $\chi^2(4)$ 分佈的 5% 和 95% 分位數，然後轉換回 $\lambda$。

根據標準卡方分佈表（自由度為 4）：

• $\chi^2_{0.05}(4) \approx 0.7107$
• $\chi^2_{0.95}(4) \approx 9.4877$

轉換回 $\lambda$：

• 下限：$\lambda_1 = \frac{\chi^2_{0.05}(4)}{2\beta} = \frac{0.7107}{10} \approx 0.07107$
• 上限：$\lambda_2 = \frac{\chi^2_{0.95}(4)}{2\beta} = \frac{9.4877}{10} \approx 0.94877$

因此，90% 可信區間為：

$$[0.071, 0.949]$$

（保留三位小數。）

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步驟 5：驗證

為了確保正確性，我們可以用數值方法（例如 Python 或 R）直接計算 $\text{Gamma}(2, 5)$ 的分位數。使用 Python 的 scipy.stats.gamma：

python

from scipy.stats import gamma

alpha = 2

beta = 5

lower = gamma.ppf(0.05, a=alpha, scale=1/beta)

upper = gamma.ppf(0.95, a=alpha, scale=1/beta)

print(lower, upper)

這會給出相似的結果，確認我們的計算正確。

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最終答案

$\lambda$ 的 90% 可信區間為：

$$\boxed{[0.071, 0.949]}$$