2025年7月17日 星期四

「位置和動量基底是互為傅立葉對的」

 好的！根據你的要求，我將以「位置和動量基底是互為傅立葉對的」這一觀點為核心，從頭簡潔且清晰地說明如何從位置本徵函數

δ(x−x0) \delta(x - x_0) 推導或聯繫到動量本徵函數 12πℏeipxℏ \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p x}{\hbar}} ，並解釋動量算符 p^=−iℏddx \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} 的角色。以下是結構化的回答，強調傅立葉變換的關鍵作用。

從位置本徵函數到動量本徵函數：傅立葉變換的視角

在量子力學中，位置和動量是互補的可觀測量，它們的本徵函數分別形成位置基底和動量基底，這兩個基底通過傅立葉變換相互聯繫。這種關係是理解如何從位置本徵函數推導動量本徵函數的關鍵。

1. 位置本徵函數

  • 定義：位置算符 x^ \hat{x} 的本徵函數 ∣x0⟩ |x_0\rangle 滿足： x^∣x0⟩=x0∣x0⟩\hat{x} |x_0\rangle = x_0 |x_0\rangle 在位置基底中，其波函數表示為狄拉克δ函數： ⟨x∣x0⟩=δ(x−x0)\langle x | x_0 \rangle = \delta(x - x_0) 這表示粒子完全局域在 x=x0 x = x_0 ，在其他位置的概率為零。

2. 動量本徵函數

  • 定義：動量算符 p^=−iℏddx \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} 的本徵函數 ∣p⟩ |p\rangle 滿足： p^∣p⟩=p∣p⟩\hat{p} |p\rangle = p |p\rangle 在位置基底中，動量本徵函數是平面波： ⟨x∣p⟩=12πℏeipxℏ\langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p x}{\hbar}} 其中 p=ℏk p = \hbar k ，k k 是波矢，歸一化因子 12πℏ \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} 確保正規化（使用δ函數正規化）： ⟨p∣p′⟩=∫−∞∞⟨p∣x⟩⟨x∣p′⟩dx=∫−∞∞12πℏe−ipxℏeip′xℏdx=δ(p−p′)\langle p | p' \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \langle p | x \rangle \langle x | p' \rangle dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi\hbar} e^{-i \frac{p x}{\hbar}} e^{i \frac{p' x}{\hbar}} dx = \delta(p - p')
  • 驗證動量算符： p^⟨x∣p⟩=−iℏddx(12πℏeipxℏ)=−iℏ(ipℏ)12πℏeipxℏ=p⟨x∣p⟩\hat{p} \langle x | p \rangle = -i\hbar \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p x}{\hbar}} \right) = -i\hbar \left( \frac{i p}{\hbar} \right) \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p x}{\hbar}} = p \langle x | p \rangle 這確認平面波是動量算符的本徵函數，本徵值為 p p 。

3. 傅立葉變換：位置與動量基底的橋樑

  • 核心觀點：位置基底 ∣x⟩ |x\rangle 和動量基底 ∣p⟩ |p\rangle 是互為傅立葉對的。任意量子態 ∣ψ⟩ |\psi\rangle 在位置基底的波函數 ψ(x)=⟨x∣ψ⟩ \psi(x) = \langle x | \psi \rangle 和動量基底的波函數 ϕ(p)=⟨p∣ψ⟩ \phi(p) = \langle p | \psi \rangle 通過傅立葉變換相連： ϕ(p)=⟨p∣ψ⟩=∫−∞∞⟨p∣x⟩⟨x∣ψ⟩dx=12πℏ∫−∞∞e−ipxℏψ(x)dx\phi(p) = \langle p | \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \langle p | x \rangle \langle x | \psi \rangle dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \frac{p x}{\hbar}} \psi(x) dx 逆變換： ψ(x)=⟨x∣ψ⟩=∫−∞∞⟨x∣p⟩⟨p∣ψ⟩dp=12πℏ∫−∞∞eipxℏϕ(p)dp\psi(x) = \langle x | \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \langle x | p \rangle \langle p | \psi \rangle dp = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \frac{p x}{\hbar}} \phi(p) dp
  • 基底轉換：位置本徵函數和動量本徵函數之間的關係是： ⟨p∣x⟩=⟨x∣p⟩∗=(12πℏeipxℏ)∗=12πℏe−ipxℏ\langle p | x \rangle = \langle x | p \rangle^* = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p x}{\hbar}} \right)^* = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-i \frac{p x}{\hbar}} 這是傅立葉變換的核心內核，表示從位置基底到動量基底的轉換。

4. 從位置本徵函數到動量本徵函數

  • 問題：給定位置本徵函數 ⟨x∣x0⟩=δ(x−x0) \langle x | x_0 \rangle = \delta(x - x_0) ，求其在動量基底中的表示 ⟨p∣x0⟩ \langle p | x_0 \rangle 。
  • 計算： ⟨p∣x0⟩=∫−∞∞⟨p∣x⟩⟨x∣x0⟩dx=∫−∞∞(12πℏe−ipxℏ)δ(x−x0)dx=12πℏe−ipx0ℏ\langle p | x_0 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \langle p | x \rangle \langle x | x_0 \rangle dx = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-i \frac{p x}{\hbar}} \right) \delta(x - x_0) dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-i \frac{p x_0}{\hbar}} 這表明位置本徵函數 ∣x0⟩ |x_0\rangle 在動量基底中的波函數是一個平面波，幅度均勻，分佈在所有可能的動量 p p 上。這反映了海森堡不確定性原理：位置完全確定 (Δx=0 \Delta x = 0 ) 時，動量完全不確定 (Δp→∞ \Delta p \to \infty )。
  • 動量本徵函數的來源： 動量本徵函數 ⟨x∣p⟩=12πℏeipxℏ \langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p x}{\hbar}} 是通過解動量算符的本徵方程得到的： p^ψp(x)=−iℏddxψp(x)=pψp(x)\hat{p} \psi_p(x) = -i\hbar \frac{d}{dx} \psi_p(x) = p \psi_p(x) 解微分方程： dψp(x)dx=−ipℏψp(x)  ⟹  ψp(x)=Aeipxℏ\frac{d \psi_p(x)}{dx} = -i \frac{p}{\hbar} \psi_p(x) \implies \psi_p(x) = A e^{i \frac{p x}{\hbar}} 選擇歸一化常數 A=12πℏ A = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} 以滿足正規化條件。
  • 傅立葉變換的聯繫： 位置本徵函數 δ(x−x0) \delta(x - x_0) 通過傅立葉變換轉換到動量空間： ⟨p∣x0⟩=12πℏ∫−∞∞e−ipxℏδ(x−x0)dx=12πℏe−ipx0ℏ\langle p | x_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \frac{p x}{\hbar}} \delta(x - x_0) dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-i \frac{p x_0}{\hbar}} 反過來，動量本徵函數可以表示為位置本徵函數的傅立葉變換： ⟨x∣p⟩=∫−∞∞⟨x∣x′⟩⟨x′∣p⟩dx′=∫−∞∞δ(x−x′)12πℏeipx′ℏdx′=12πℏeipxℏ\langle x | p \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \langle x | x' \rangle \langle x' | p \rangle dx' = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - x') \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p x'}{\hbar}} dx' = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p x}{\hbar}}

5. 動量算符的角色

  • 動量算符 p^=−iℏddx \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} 是定義動量本徵函數的關鍵。它確保平面波 eipxℏ e^{i \frac{p x}{\hbar}} 是動量本徵函數，並與位置算符滿足交換關係： [x^,p^]=iℏ[ \hat{x}, \hat{p} ] = i\hbar 這一交換關係導致位置和動量基底的傅立葉對關係，因為非對易性意味著它們不能共享本徵態，從而導致位置和動量的互補性。

6. 物理意義：不確定性原理

  • 位置本徵函數 δ(x−x0) \delta(x - x_0) 表示粒子精確位於 x0 x_0 。其動量表示 ⟨p∣x0⟩=12πℏe−ipx0ℏ \langle p | x_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-i \frac{p x_0}{\hbar}} 的概率密度 ∣⟨p∣x0⟩∣2=12πℏ |\langle p | x_0 \rangle|^2 = \frac{1}{2\pi\hbar} 是常數，表明動量完全不確定。
  • 這是海森堡不確定性原理的直接結果，源於 [x^,p^]=iℏ[ \hat{x}, \hat{p} ] = i\hbar，通過傅立葉變換的寬窄關係體現：位置高度局域化導致動量分佈極寬。

總結

  • 從位置本徵函數到動量本徵函數：
    1. 位置本徵函數 ⟨x∣x0⟩=δ(x−x0) \langle x | x_0 \rangle = \delta(x - x_0) 。
    2. 通過傅立葉變換，計算其動量表示： ⟨p∣x0⟩=12πℏe−ipx0ℏ\langle p | x_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-i \frac{p x_0}{\hbar}}
    3. 動量本徵函數 ⟨x∣p⟩=12πℏeipxℏ \langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{i \frac{p x}{\hbar}} 是通過解 p^ψp(x)=pψp(x) \hat{p} \psi_p(x) = p \psi_p(x) 得到，並與位置本徵函數通過傅立葉變換互連。
  • 傅立葉變換的關鍵：位置基底 δ(x−x0) \delta(x - x_0) 和動量基底 eipxℏ e^{i \frac{p x}{\hbar}} 是互為傅立葉對的，反映了位置和動量的互補性，這由動量算符 p^=−iℏddx \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} 和交換關係 [x^,p^]=iℏ[ \hat{x}, \hat{p} ] = i\hbar 保證。
  • 物理意義：位置本徵函數的動量表示顯示完全不確定的動量，符合不確定性原理。

如果你需要更具體的計算示例（例如某波函數的傅立葉變換）或進一步探討其他基底的表示，請告訴我！

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