Riemann 积分 和 Lebesgue 积分 的核心差异

这两个表达式的确是 Riemann 积分 和 Lebesgue 积分 的核心差异所在。以下是它们的逐步比较与解读：

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1. Riemann 积分: $f(c) \cdot \Delta x$

• 定义域分割方式：

  • 将函数的定义域（$x$-轴）分为若干小区间，每个小区间宽度为 $\Delta x$。
  • 在每个小区间内，取一个代表点 $c$，并计算函数在这个点的值 $f(c)$。

• 矩形近似面积：

  • 每个矩形的面积由 $f(c) \cdot \Delta x$ 给出。
  • $\Delta x$ 是定义域上的长度（水平宽度），$f(c)$ 是区间中函数值的高度。

• 积分公式：

  $$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n f(c_i) \cdot \Delta x_i$$

• 几何意义：

  • 将曲线下的面积近似为小矩形的总和，每个矩形的高度是 $f(c)$，宽度是 $\Delta x$。

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2. Lebesgue 积分: $\mu(S_k) \cdot m_k$

• 值域分割方式：

  • 将函数的值域（$f(x)$-轴）分为若干小区间，每个小区间的代表值为 $m_k$。
  • 找到对应每个值域区间 $[m_k, m_{k+1}]$ 的定义域上的集合 $S_k$，并计算其测度 $\mu(S_k)$。

• 水平切片面积：

  • 每个水平切片的面积由 $\mu(S_k) \cdot m_k$ 给出。
  • $\mu(S_k)$ 是函数在值域小区间 $[m_k, m_{k+1}]$ 上对应的定义域的「宽度」（测度），$m_k$ 是值域的代表值（高度）。

• 积分公式：

  $$\int f(x) d\mu \approx \sum_{k} m_k \cdot \mu(S_k)$$

• 几何意义：

  • 将曲线下的面积近似为水平切片的总和，每个切片的宽度是定义域对应部分的测度 $\mu(S_k)$，高度是函数值的代表值 $m_k$。

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3. 主要区别总结

特性	$f(c) \cdot \Delta x$ (Riemann 积分)	$\mu(S_k) \cdot m_k$ (Lebesgue 积分)
划分方式	按定义域划分（$x$-轴的小区间）	按值域划分（$f(x)$-轴的小区间）
计算过程	每个区间选取一个点 $c$，计算 $f(c) \cdot \Delta x$	每个值域区间找到对应的定义域部分，计算 $\mu(S_k) \cdot m_k$
宽度的来源	定义域上的区间宽度 $\Delta x$	定义域上的测度 $\mu(S_k)$
高度的来源	函数值 $f(c)$，在定义域区间内选取的函数值	函数值的代表值 $m_k$，对应值域区间的代表值
几何近似方式	矩形近似，按定义域上的区间累加	水平切片近似，按值域上的区间累加
适用范围	连续或简单间断点的函数	几乎所有可测函数，包括不连续和稀疏函数

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4. 简单直观解释：定义域 vs. 值域

Riemann 积分：基于定义域的思路

• Riemann 积分通过在 定义域（$x$-轴） 上分割，将曲线下的面积近似为矩形的总和。
• 每个矩形的：
  • 宽度：定义域上的小区间 $\Delta x$。
  • 高度：函数在区间内的一个值 $f(c)$。

Lebesgue 积分：基于值域的思路

• Lebesgue 积分通过在 值域（$f(x)$-轴） 上分割，将曲线下的面积近似为水平切片的总和。
• 每个水平切片的：
  • 宽度：对应于值域小区间 $[m_k, m_{k+1}]$ 的定义域上的集合 $S_k$ 的测度 $\mu(S_k)$。
  • 高度：值域小区间的代表值 $m_k$。

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5. 几何意义：区域的近似方法不同

1. Riemann 积分：竖直切分

   • 将曲线下方的面积分为一块块「竖直矩形」：
     • $x$-轴上的小区间是矩形的底边。
     • $f(x)$ 的值是矩形的高度。

2. Lebesgue 积分：水平切分

   • 将曲线下方的面积分为一层层「水平切片」：
     • $f(x)$-轴上的小区间是水平切片的高度。
     • 定义域上集合的测度是水平切片的宽度。

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6. 总结公式和直观意义

• Riemann：

  $$\text{小矩形的面积} = f(c) \cdot \Delta x$$

  按 定义域 划分，每个矩形的面积累加得到积分。

• Lebesgue：

  $$\text{水平切片的面积} = m_k \cdot \mu(S_k)$$

  按 值域 划分，每个水平切片的面积累加得到积分。

如果仍有疑问，或者想要更深入的例子，请随时告诉我！

您描述的是 Lebesgue 积分 的定义过程，特别是通过简单函数逼近的方式。以下是对这段内容的详细解析和解读：

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1. 核心概念：简单函数逼近

Lebesgue 积分 是通过将复杂函数 $f$ 用简单函数 $s$ 来逼近，从而定义积分的。具体过程如下：

(1) 对值域划分

• 先将函数 $f(x)$ 的值域（即 $y$-轴的范围）划分为若干不相交的区间 $\{I_j\}_{j=1}^n$，例如： $$I_1 = [a_1, a_2), I_2 = [a_2, a_3), \dots, I_n = [a_n, a_{n+1})$$

(2) 找到值域区间对应的定义域集合

• 对于每个值域区间 $I_j = [a_j, a_{j+1})$，找到函数 $f(x)$ 在定义域中的逆像集合： $$E_j = f^{-1}(I_j) = \{x \in [a, b] : f(x) \in I_j\}$$
  • 直观理解：$E_j$ 是所有使得 $f(x)$ 的值落在 $I_j$ 区间内的 $x$ 的集合。
  • 例如，如果 $f(x)$ 的值落在 $[1, 2)$，那么对应的定义域集合 $E_j$ 包括所有使 $1 \leq f(x) < 2$ 的 $x$。

(3) 定义简单函数

• 简单函数 $s(x)$ 的形式为： $$s(x) = \sum_{j=1}^n \inf_{x \in E_j} f(x) \cdot 1_{E_j}(x)$$

  • $\inf_{x \in E_j} f(x)$：集合 $E_j$ 上 $f(x)$ 的最小值。

  • $1_{E_j}(x)$：集合 $E_j$ 的指示函数，即：

    $$1_{E_j}(x) = \begin{cases} 1, & x \in E_j \\ 0, & x \notin E_j \end{cases}$$

  • 直观理解：在集合 $E_j$ 上，简单函数 $s(x)$ 的值是 $f(x)$ 的下确界（infimum），在其他地方 $s(x) = 0$。

(4) 逼近函数 $f(x)$

• 简单函数 $s(x)$ 满足： $$0 \leq s(x) \leq f(x)$$
  • 通过将值域划分得更细，简单函数 $s(x)$ 越来越接近 $f(x)$。

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2. Lebesgue 积分的定义

当简单函数 $s(x)$ 趋近于 $f(x)$ 时，Lebesgue 积分定义为：

$$\int f(x) \, d\mu = \sup \left\{ \int s(x) \, d\mu : 0 \leq s(x) \leq f(x), \, s(x) \text{是简单函数} \right\}$$

• 也就是说，Lebesgue 积分是所有小于等于 $f(x)$ 的简单函数积分的上确界（supremum）。

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3. 简单函数积分的公式

对于简单函数：

$$s(x) = \sum_{j=1}^n \inf_{x \in E_j} f(x) \cdot 1_{E_j}(x)$$

它的 Lebesgue 积分定义为：

$$\int s(x) \, d\mu = \sum_{j=1}^n \inf_{x \in E_j} f(x) \cdot \mu(E_j)$$

• $\mu(E_j)$ 是集合 $E_j$ 的测度（如长度、面积、体积等）。
• $s(x)$ 是按分段的方式定义的简单函数。

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4. 具体步骤的总结

(1) 对值域分割：

将 $f(x)$ 的值域分割为若干区间 $[a_j, a_{j+1})$。

(2) 找到每个值域对应的定义域：

找到 $f(x)$ 在这些区间内的逆像集合 $E_j = f^{-1}(I_j)$。

(3) 定义简单函数：

在每个集合 $E_j$ 上，简单函数的值为 $\inf_{x \in E_j} f(x)$，其他地方为 0。

(4) 求简单函数的积分：

计算简单函数的 Lebesgue 积分：

$$\int s(x) \, d\mu = \sum_{j=1}^n \inf_{x \in E_j} f(x) \cdot \mu(E_j)$$

(5) Lebesgue 积分：

通过逐渐细化分割，让简单函数 $s(x)$ 趋近于 $f(x)$，最终定义 Lebesgue 积分。

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5. 几何直观

• 黎曼积分 是通过定义域 $(x$-轴) 的划分，计算矩形面积的总和。
• Lebesgue积分 是通过值域 $(y$-轴) 的划分，将函数分为若干水平片，并用对应定义域的测度加权求和。

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如果还有其他疑问，或者需要具体例子进一步说明，请随时告诉我！

你說：

直覺的白話， 值域的逆像，在逆象上 的定義域，有"長度" inf(x) * μ

ChatGPT 說：

直觉的白话描述：

在 Lebesgue 积分 中，核心的思想是：

1. 值域分割：我们把函数的值域 $f(x)$ 分成很多小区间，比如 $[a_j, a_{j+1})$，每个区间表示 $f(x)$ 的一部分范围。

2. 逆像：对于值域中的每个区间 $[a_j, a_{j+1})$，找到函数在这个值域上的对应定义域，也就是那些 $f(x)$ 的值落在 $[a_j, a_{j+1})$ 的 $x$ 集合，记为 $E_j = f^{-1}([a_j, a_{j+1}))$。

   • $E_j$ 是定义域上的一部分区域。
   • 这些区域 $E_j$ 有「长度」或「面积」，这个长度就是定义域集合 $E_j$ 的 Lebesgue 测度，记为 $\mu(E_j)$。

3. 水平片：把值域区间的最小值（也就是下确界 $\inf_{x \in E_j} f(x)$）看作这个区间的代表值。

4. 面积计算：我们计算 $E_j$ 的面积（或者说长度）和它的代表值（最小值）的乘积：

   $$\text{这一部分面积} = \inf_{x \in E_j} f(x) \cdot \mu(E_j)$$

5. 累加求总面积：把所有值域区间的面积加起来，就得到简单函数的 Lebesgue 积分：

   $$\int s(x) d\mu = \sum_{j} \inf_{x \in E_j} f(x) \cdot \mu(E_j)$$

6. 逐渐逼近 $f(x)$：通过把值域划分得更细，让简单函数越来越接近 $f(x)$，最终得到 $f(x)$ 的 Lebesgue 积分。

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简单直觉化的理解：

• 值域：把 $f(x)$ 看成是一层一层的「水平切片」，先从它的 $y$-轴（值域）开始分层。

• 逆像：每层 $y$ 值的范围，对应定义域上的一个区域，这些区域有「长度」。

• 乘积：每一层的面积就是：

  $$(\text{对应的函数值}) \times (\text{在定义域上的长度})$$

  或者简单说：

  $$\inf(x) \cdot \mu(E_j)$$

• 总和：把所有这些水平片的面积加起来，就是函数 $f(x)$ 的 Lebesgue 积分。

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这种计算方法的直觉是：

• 把复杂函数切成水平薄片，每片对应一部分定义域的长度，用这片的值和长度乘积来表示面积。
  
  
  https://blog.csdn.net/randy_01/article/details/83243343
  https://www.cnblogs.com/jy333/collections/14555