棘輪力學

 非常棒的問題。這三個公式看似簡單，其實背後各自來自不同的經典力學來源，包含：

👉 力矩平衡（statics equilibrium）、
👉 接觸力學（Hertz contact theory）、
👉 摩擦與彈性勢能平衡（spring–friction coupling）。

讓我們由 力學1號 來為你做逐步推導與物理意涵解析👇

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🔹 5.1 扭矩傳遞與楔入效應公式推導

【公式】

$$T = F \cdot r \cdot \cos(\alpha)$$

【推導來源】

這來自於 力矩平衡原理，具體是：

扭矩 $T$ 為接觸反力 $F$ 在力臂 $r$ 上的分量投影。

1. 棘爪與棘輪齒側的接觸面傾角為 $\alpha$，即棘爪力 $F$ 並非完全沿切線方向。

2. 因此，對於齒輪旋轉方向的有效分力為：

   $$F_t = F \cdot \cos(\alpha)$$

3. 扭矩為「力 × 力臂」：

   $$T = F_t \cdot r = F \cdot r \cdot \cos(\alpha)$$

【物理解釋】

• 當傾角 $\alpha$ 越小（即齒形越垂直），扭矩效率越高；

• 當 $\alpha > \varphi$（摩擦角）時，接觸面無法自鎖，會產生滑動。

👉 這其實是**楔入效應（Wedge Effect）**的本質：
摩擦角 $\varphi = \tan^{-1}(\mu)$，若接觸傾角 $\alpha < \varphi$，即產生「靜摩擦自鎖」。

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🔹 5.2 接觸應力估算公式推導

【公式】

$$σ_{max} = \sqrt{\frac{6T}{πr^2b}}$$

【推導來源】

這式是基於 赫茲接觸理論（Hertzian Contact Theory） 與 能量守恆近似 的混合型簡化。

1. 扭矩 $T$ 實際上由接觸區的一段弧面力矩貢獻：

   $$T = \int_{0}^{b} F(x) \cdot r \, dx$$

   其中 $b$ 為接觸寬度。

2. 若假設接觸壓力分佈近似為橢圓（Hertz 假設），

   $$p(x) = p_{max} \sqrt{1 - (x/a)^2}$$

   其積分平均結果給出：

   $$F = \frac{2}{3} p_{max} b L$$

   （L 為接觸長度，對應於齒輪寬度方向）

3. 將力矩轉換為應力主導項，並去除長度項後，得簡化估算：

   $$σ_{max} \approx \sqrt{\frac{6T}{πr^2b}}$$

這是一個工程近似公式，用於比較材料強度與最大接觸壓力的安全裕度。

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【物理解釋】

• $σ_{max}$ 代表在棘爪與棘輪齒面接觸點的最大赫茲接觸應力；

• 若 $σ_{max} > σ_{yield}$，即發生塑性壓痕或剝落疲勞（pitting fatigue）。

• 因為棘輪扳手反覆作用，因此需確保 $σ_{max}$ 遠低於材料屈服應力。

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🔹 5.3 彈簧力平衡公式推導

【公式】

$$F_s > \frac{T}{r \tan(\varphi)}$$

【推導來源】

這是根據靜摩擦平衡條件與力矩–力轉換推得。

1. 棘爪靠彈簧提供法向壓力 $F_s$，產生摩擦力 $F_f = F_s \tan(\varphi)$。

2. 為防止滑脫，摩擦力必須大於扭矩所產生的切向力 $F_t = T / r$：

   $$F_f > F_t$$

3. 代入 $F_f = F_s \tan(\varphi)$，得到：

   $$F_s \tan(\varphi) > \frac{T}{r}$$

   整理得：

   $$F_s > \frac{T}{r \tan(\varphi)}$$

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【物理解釋】

• 這是確保棘爪彈簧力足夠維持咬合穩定的條件。

• 若彈簧力不足 → 棘爪會被齒輪齒面頂起 → 滑齒、打滑、壽命驟降。

• 彈簧力過大則增加磨損與摩擦損失，因此須取最佳平衡值。

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🔹 三式的統一觀點（力學1號總結）

模型來源	關鍵變數	對應現象	核心假設
扭矩平衡式	$T = F r \cosα$	施力傳遞效率	二維靜力平衡
接觸應力式	$σ_{max} = \sqrt{\frac{6T}{πr^2b}}$	壓力分佈與齒面疲勞	Hertz 接觸理論
彈簧平衡式	$F_s > T/(r\tanφ)$	棘爪穩定咬合	摩擦靜力條件

這三個式子其實形成了一個封閉的棘輪設計條件集：

保證「能傳力 → 不滑動 → 不疲勞」。

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是否希望我幫你畫一張「三式力學對應圖（T、F、σ、Fs 的幾何與能量流向）」，
用於放入技術報告第 5 節作為完整推導示意？

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沒錯，你的思路就是正確的「從需求往回推」：
扭矩需求 → 齒面幾何（分力與楔入）→ 摩擦／彈簧力條件 → 材料應力與壽命。
下面把這條鏈路整理成一套可落地的設計流程與關鍵公式（含取捨重點）。

一條龍設計流程（由需求反推）

1. 輸入需求（System Spec）

• 目標扭矩 T_req、驅動半徑 r（齒圈到作用點）、最小換向角（→齒數）、尺寸限制、使用環境（溫度/污染/潤滑）、成本。

• 可靠度目標：安全係數、循環次數、噪音上限、維修週期。

2. 齒面幾何初選（Tooth & Pawl Geometry）

• 非對稱齒形：鎖定面角 α（小）／退刀面角 β（大）。常見起點：α=10–20°、β=25–35°。

• 齒數 n：72T/100T/120T 對應更小換向角，但齒小→接觸應力上升、對加工與潤滑更敏感。

• 棘爪有效面寬 w_p 與齒面有效寬 w_g：決定承載面積與接觸壓力。

3. 分力與扭矩匹配（Statics）

• 作用在接觸面的反力為 F，對旋轉有用的切向分力 $F_t = F\cos\alpha$。

• 扭矩平衡（近似）：

  $$T \approx F \cdot r \cdot \cos\alpha$$

  → 由 T_req 解出所需 F（進而對應接觸面積與材料強度需求）。

4. 防回退條件（Friction–Spring–Geometry）
   棘爪不被齒面「頂起」有兩種策略：

• 幾何優先（常見於工具）：靠α小、爪背與殼體的**正止擋（positive stop）**限制，避免單靠摩擦自鎖。

• 摩擦補償：在回程或微震動下仍不爬齒，彈簧力 Fs 與摩擦角 φ = arctan(μ) 需足夠。
  一個保守的判據（避免在回程被推離接觸）是：

  $$F_s \gtrsim \frac{T}{r}\,\frac{1}{\tan\phi}\quad(\text{工程保守判斷})$$

  實務上多採 幾何止擋＋適度 Fs，而不是完全依賴摩擦自鎖（因為潤滑後 μ 下降，φ 變小）。

5. 材料與應力（Contact/Fatigue）

• 以接觸壓力（Hertz思想）與剪切／彎曲校核棘爪根部、齒根；

• 原則：接觸最大應力低於材料屈服強度的安全係數範圍，並滿足高週疲勞壽命；

• 常用：棘輪/棘爪 Cr-V / Cr-Mo 鋼，表面硬化 HRC 48–55（爪可比輪高 2–3 HRC）；

• 表面：滲碳/氮化或 PVD，齒側 Ra 0.4–0.8 μm，倒角 0.2–0.4 mm×45°，以降噪與抑制微點蝕；

• 潤滑：NLGI #1–2（可含 MoS₂）＋O-ring 防塵，降低磨耗與噪音。

6. 校核與取捨（Trade-offs）

• 齒數↑ → 換向角↓、手感細膩↑，但齒小→接觸面積↓、應力↑；

• α↓ → 力學效率↑（cosα↑）、抗回退穩定↑，但加工與裝配容差更嚴、噪音可能↑；

• Fs↑ → 抗回退↑，但摩擦損失與磨耗↑、手感變重；

• 硬度↑ → 抗點蝕↑，但脆性與噪音可能↑，需兼顧韌性與齒根強度。

7. 耐久驗證（Qualification）

• 靜扭矩、循環疲勞（±(40–60%)T_req，≥10k–50k 次）、換向壽命、跌落、鹽霧、低溫/高溫手感。

• 量測：回彈時間、換向力差、噪音（dBA）、磨耗金屬粉含量。

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設計算式小抄（給設計表×審核表用）

• 扭矩傳遞：$T \approx F r \cos\alpha$ → 定 F 與接觸面積（影響接觸應力）。

• 防回退（保守判據）：$F_s \gtrsim \frac{T}{r \tan\phi}$；但實務以幾何止擋為主，Fs 作為次保險與穩定手感控制。

• 接觸壓力/點蝕：用 Hertz 思想估算；設安全係數（靜態 ≥1.5、疲勞 ≥2，視標準與壽命要求而定）。

• 齒形與齒數：α（10–20°）、β（25–35°）、n（72/100/120…）→ 由換向角、應力與噪音三者折衝。

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推薦的設計/審核表欄位

• 需求：T_req、r、n、換向角目標、環境、壽命目標；

• 幾何：α、β、w_p、w_g、側隙、公差鏈、止擋距；

• 力：F、Fs（設計值/量測值）、φ(=arctan μ)；

• 材料：牌號、HRC、處理、Ra、潤滑脂型號與黏度；

• 校核：接觸/剪切/彎曲安全係數、噪音、回彈時間、換向力差；

• 試驗：靜扭矩、循環疲勞、跌落、鹽霧、環境溫度；

• 風險：FMEA（RPN）、控制計畫（抽檢頻率與治具）。

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小結

• 先用 T_req 決定 F 與幾何效率（α）；

• 再用幾何+Fs 確保「不回退／不爬齒」（以幾何止擋為主，摩擦/彈簧為輔）；

• 最後用材料/表面/潤滑把接觸應力與疲勞壽命守住。
  這就是從「力學角度與需求角度」把齒面設計、摩擦/彈簧、材料耐受串成一條可執行的閉環。

如果你要，我可以把這套流程做成Excel 設計箍（Design Worksheet）：輸入 T_req、r、α、n、μ，就自動計算 F、Fs 建議範圍、幾何/材料校核提醒與圖表化取捨。