F_pawl(θ) 形狀/峰值 → Δx（功能行程）→ e_max（偏心量）→ 凹槽 r(θ)（幾何）→ 應力（接觸/彎曲）

 對，你這條「因果鏈」正確，而且是做設計時最好用的路線圖：

F_pawl(θ) 形狀/峰值 → Δx（功能行程）→ e_max（偏心量）→ 凹槽 r(θ)（幾何）→ 應力（接觸/彎曲）

下面把每一環的物理意義、公式與可調旋鈕說清楚，照著走就能收斂設計。

1) F_pawl(θ)（手感/操作力）

• 目標：單峰、平滑、峰值不超標。

• 模型：$F_{pawl}(\theta)=\big(F_{pre}+k\,x(\theta)\big)\,C_c$

  • $x(\theta)$：位移曲線（建議 cycloidal 或 3-4-5）

  • $k,\,F_{pre}$：彈簧剛性與預壓（決定斜率與整體水平）

  • $C_c$：接觸放大（由 $R_{cam}/R_{pin}$、摩擦 μ）

• 調法：若峰值過高→拉長 $\theta_{total}$ 或降 $k$、放大 $R_{cam}$；若鬆散→加 $F_{pre}$ 或微增 $k$。

2) Δx（功能行程→避免雙爪咬齒）

$$\Delta x_{req}=t\sin\alpha+\delta \quad(\delta\approx0.1\!-\!0.2\text{ mm})$$

• $t=2\pi r/n$（齒距）、$\alpha$ 鎖定面角。

• 達不到 → 反向換向不到位、雙爪同時接觸、卡滯。

3) e_max（把行程換成偏心幅）

$$e_{\max}=\frac{\Delta x_{req}}{\cos\gamma}$$

• $\gamma$：棘爪導向與徑向夾角（設計 ≤15°）。

• e_max 太小 → 行程不足；太大 → 彈簧壓縮過度、峰值跳高。

4) 凹槽 r(θ)（幾何生成器）

• 定義：接觸半徑函數 $r(\theta)$ 的最大−最小就是 $e_{\max}$。

• 形狀要求：

  • 端點 $\mathrm{d}r/\mathrm{d}\theta=0$（起訖柔著陸）

  • $\max|\mathrm{d}r/\mathrm{d}\theta|\lesssim0.02\!-\!0.03$ mm/°（避免力峰）

  • 曲率連續、端角導圓 $R_c\ge1.5\!-\!3$ mm；配對 $R_{pin}=0.3\!-\!0.5$ mm

• 調法：加深/變陡 → e_max↑、峰值↑；放緩/拉長角度 → 峰值↓、手感順。

5) 應力（要過材料強度與壽命）

• 接觸（凸輪–pin／爪–齒）：用赫茲估算；控制
  $\sigma_{max} < \sigma_y/SF$（SF≥1.5–2）。
  放大 $R_{cam}$、用滾子端、提高表面光潔可降 $\sigma_{max}$ 與 $C_c$。

• 爪齒彎曲：齒根應力 < 允許；必要時加齒根圓角 R 或提升硬度/滲碳。

• 彈簧：壓縮量 = Δx + 預壓，避免超行程；疲勞裕度要足。

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一頁式落地流程

1. 定手感窗口：峰值上限、曲線平滑性指標。

2. 由齒形算 Δx_req → 反推 e_max。

3. 合成 r(θ)（cycloidal/S 曲線），設 $\theta_{total}$、斜率與端角 R。

4. 用上式得 F_pawl(θ)，調 $k,\,F_{pre},\,R_{cam}/R_{pin}$ 使曲線入窗。

5. 做 應力校核（赫茲/彎曲）與 Monte Carlo 5–95% 包絡；判定
   $\max F_{95\%}\le F_{max}$、$\min F_{5\%}\ge F_{min}$、關鍵點 Cpk≥1.33。

6. 樣件實測 θ–F 曲線（起始/峰值/結束三點放行），迭代微調。

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快速參考（3/8" 典型）

• $\Delta x \approx 0.8$ mm → $e_{\max}\approx 0.8\pm0.1$ mm

• $\theta_{total}=60\!-\!90^\circ$（常用 70°）

• $R_{cam}/R_{pin}\ge 3:1$，Ra ≤ 0.8 μm

• 彈簧：$k\approx2.5$ N/mm、預壓佔最大行程 20–30%

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一句話

先把手感曲線想清楚，就能鎖定Δx；
Δx決定e_max，e_max由凹槽 r(θ)生成；
最後以應力與統計包絡收尾，確保「不卡、好轉、耐用」。