從守恒律到質量連續方程：一條清晰的邏輯鏈

在數學與物理中，偏微分方程 (PDEs) 並不是憑空出現的。
它們往往源自一個簡單卻深刻的思想：守恒 (conservation)。

本文將帶你走過這條邏輯鏈：
守恒想法 → 散度定理 → 時間演化 → 質量連續微分方程。

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1. 守恒想法：封閉體積內的平衡

我們首先思考「質量守恒」。

在一個封閉體積 $V$ 中，質量的總量為：

$$M(t) = \iiint_V \rho(x,y,z,t)\, dV$$

其中 $\rho$ 是密度。

守恒的直觀表述是：

體積內的質量變化，等於邊界上的通量流入/流出。

這就是最原始的「整體觀」——守恒律。

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2. 散度定理：把邊界通量轉進體積內部

如果用一個向量場 $\vec{F}$ 表示速度場，那麼邊界上的通量為：

$$\iint_S \rho \vec{F} \cdot \vec{n}\, dS$$

這裡的 $\vec{n}$ 是曲面法向量。
利用 高斯散度定理，我們可以把表面積分轉換成體積積分：

$$\iint_S \rho \vec{F} \cdot \vec{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot (\rho \vec{F})\, dV$$

這一步，實現了從「邊界觀」到「局部觀」的轉換。

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3. 時間演化：質量的動態平衡

質量的時間變化率為：

$$\frac{d}{dt} \iiint_V \rho\, dV$$

依守恒律，這必須等於邊界流出的質量通量（取負號）：

$$\frac{d}{dt} \iiint_V \rho\, dV = - \iiint_V \nabla \cdot (\rho \vec{F})\, dV$$

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4. 質量連續微分方程：局部形式

由於這個關係對所有體積 $V$ 都成立，
因此 integrand 必須在每一點都為零：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{F}) = 0$$

這就是著名的 質量連續方程 (Continuity Equation)。
它是守恒律的 局部 PDE 形式，是流體力學、電磁學、熱傳導等領域的基石。

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✨ 總結：一條邏輯鏈

如果要用一句話總結這個推導：

守恒律給出整體的平衡 → 散度定理把邊界通量轉化為體積內散度 → 引入時間演化 → 得到局部的連續微分方程。

$$\text{守恒} \;\;\;\; \longrightarrow \;\;\;\; \text{散度定理} \;\;\;\; \longrightarrow \;\;\;\; \text{時間演化} \;\;\;\; \longrightarrow \;\;\;\; \text{PDE}$$

這條邏輯鏈，是理解許多物理定律與 PDE 的「母語法則」。