2025年9月18日星期四

CNC 加工路徑優化

好的——以下是一個可一般化、可落地的多目標路徑優化框架（不限於 FANUC，對任意 CNC/運動控制器皆適用）。目標同時兼顧表面粗糙度（Ra/Rz）、幾何公差（Tolerance）與加工時間（T），並把你指定的關鍵因素（設計、插補前/後加速度、路徑速度、加加速度〔Jerk〕、工具機動態限制）整合成一個分層可計算的流程。

多目標路徑優化：一般化 Framework

A. 問題定義（Objectives, Variables, Constraints）

1) 多目標

\min \; F(X)=\{\,Ra(X),\; Tol(X),\; T(X)\,\}

Ra：由幾何殘留（scallop/步距）、速度波動與高頻振動疊加而成。
Tol：路徑幾何近似誤差（弦誤差/曲率不連續）＋伺服跟隨誤差（輪廓誤差）。
T：總切削時間 $T=\int \frac{ds}{v(s)}$ 。

2) 設計變數 $X$ （可調參數）

幾何層：路徑型式（Line/Arc/NURBS）、曲率連續等級（G1/G2/G3）、角落圓角/過渡半徑、步距/步深。
插補層：插補週期 $dt$ 、插補前/後加速度（進入/退出段的加減速配置）、速度平滑參數。
運動學層：進給速度分佈 $v(s)$ 、最大加速度 $a_{\max}$ 、最大加加速度（Jerk） $j_{\max}$ 。
動態層：伺服/結構模型（FRF/剛性/阻尼）、前饋/跟隨補償增益。

3) 約束（硬邊界）

v(s)\le V_{\max},\quad a_t(s)\le a_{\max},\quad j(s)\le j_{\max},\quad e_{\text{contour}}(s)\le Tol_{\text{req}}

再加上製程邊界（切削力、熱偏移、夾持剛性等）。

B. 可計算的核心模型（與決策槓桿）

1) 幾何→速度的「安全進給上限」

向心加速度界：
$v_{\text{acc}}(s)\;\le\;\sqrt{\frac{a_{\max}}{\kappa(s)}} \quad (\kappa=1/R：曲率)$
Jerk 變曲率界（曲率變化激烈處限速）：
$v_{\text{jerk}}(s)\;\le\;\Big(\frac{j_{\max}}{|d\kappa/ds|}\Big)^{1/3}$
綜合限速：
$v_{\text{allow}}(s)=\min\{V_{\max},\,v_{\text{cmd}}(s),\,v_{\text{acc}}(s),\,v_{\text{jerk}}(s)\}$

2) 公差/輪廓誤差估計（簡化）

幾何弦誤差（線段近似曲線）：
$e_{\text{chord}}\approx\frac{\kappa\,\ell^2}{8}$
伺服輪廓誤差：由伺服/機械頻響與命令頻譜疊合估計（可用二質點或 FRF 簡模得到 $e_{\text{servo}}(s)$ ）。
總公差： $Tol\approx \max_s\{e_{\text{chord}}(s)+e_{\text{servo}}(s)\}$ 。

3) 粗糙度代理模型（通用近似）

幾何殘留（例：側銑/步距 $p$ 與刀具半徑 $R_t$ ）：
$h_{\text{scallop}}\approx \frac{p^2}{8R_t}$
速度波動/振動貢獻：用速度抖動 RMS 與主軸/結構峰值增益近似
$Ra \approx \alpha\,h_{\text{scallop}}+\beta\,\text{RMS}\{\delta v/v\}+\gamma\,A_{\text{vib}}$

（ $\alpha,\beta,\gamma$ 由實測/回歸校準）

C. 分層流程（Design → Interp → Kinematics → Dynamics → MOO）

幾何層（Design）
- NURBS/圓弧化、角落加圓角；確保 G2/G3 曲率連續，降低 $d\kappa/ds$ 。
- 設定步距/步深以界定幾何殘留上限。
插補層（Interpolation）
- 選擇插補策略（線/弧/樣條）與插補週期 $dt$ 。
- 佈署插補前/後加速度與段間過渡（S 曲線/五次多項式），避免速度尖峰。
運動學層（Kinematics Scheduling）
- Look-ahead 計算 $v_{\text{allow}}(s)$ ，套用 Jerk 限制與角落減速，得到 $v(s)$ 。
- 生成 S 曲線（jerk-limited）速度/加速度/加加速度剖面。
動態層（Machine Dynamics Check）
- 用簡化伺服＋結構模型預估 $e_{\text{servo}}(s)$ 、速度抖動與振動放大。
- 若 $Tol$ 或振動超限→回到 1–3 層自動調整：放寬曲率、降低 $v$ 、增大過渡半徑或延長加減速距離。
多目標優化（MOO）
- 決策變數： $\{v_{\text{cmd}}(s)$ 形狀參數、圓角半徑、步距、 $dt$ 、S 曲線時間常數、 $a_{\max},j_{\max}$ 分配等})
- 法：NSGA-II / MOEA-D / PSO 產生 Pareto 前緣。
- 評估器：用上節模型計算 $(Ra,\;Tol,\;T)$ 。
- 選擇：膝點/權重或加上魯棒性（對刀具磨耗/材料波動的 worst-case）。

D. 變數—目標—風險的對照（決策槓桿表）

槓桿	主要影響	次要影響	風險/代價
增加角落圓角/樣條化	↓Tol、↓Ra（更平順）	可能 ↓T（少減速）	幾何改動需符合設計意圖
降低步距/步深	↓Ra（幾何殘留）	↑T	加工成本上升
降低 $dt$	↓弦誤差、↓速度抖動	↑控制負載	控制器性能限制
延長插補前/後加速距離	↓速度尖峰、↓振動	可能 ↑T	程式更長、動作空走增加
嚴格 Jerk 限制	↓Ra、↓Tol	↑T	高精要求工件可接受
降低 $v_{\text{cmd}}$ （局部）	↓Ra、↓Tol	↑T	用 look-ahead 做局部降速最划算
伺服/前饋調整	↓Tol、↓Ra	—	需上機校正/辨識

E. 實作藍圖（簡化偽碼）


Input: 路徑幾何 G(s), 機台限值 {Vmax, amax, jmax}, 製程需求 {Ra_req, Tol_req}
1. 幾何光順: 生成 G*(s) 並計算 κ(s), dκ/ds
2. 速度規劃: v_allow(s) = min{Vmax, v_cmd(s), sqrt(amax/κ), (jmax/|dκ/ds|)^(1/3)}
3. Jerk-limited S 曲線生成 v(s), a(s), j(s)
4. 動態預估: e_servo(s), δv/v, A_vib  →  Tol, Ra, T
5. 若約束違反 → 調參回 1–3 層（圓角/步距/時間常數/局部降速）
6. 多目標優化(NSGA-II)：決策向量 X → 評估 (Ra, Tol, T) → Pareto 集
7. 選解 → 輸出加工程式（含樣條/圓角、速度表、S 曲線參數）

F. 快速落地建議

先模型後優化：用少量實驗校準 $\alpha,\beta,\gamma$ 與伺服簡模，讓評估可信。
區域化優化：把高曲率/曲率梯度區段做「局部多目標」調速，其餘區段跑效率。
雙迴路：離線求 Pareto；上機用小範圍自適應（監測輪廓誤差/振動）做微調。
決策視圖：輸出三維 Pareto 與「膝點」建議，方便製程工程師選擇。

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