👌 我幫你把「位置變化 → 密度 → 壓力 → 波動方程」的推導，用 守恒 / flux / 散度定理 / 熱傳導 這個套路整理清楚。這樣就能和熱傳導方程的套路對比。

 👌 我幫你把「位置變化 → 密度 → 壓力 → 波動方程」的推導，用 守恒 / flux / 散度定理 / 熱傳導 這個套路整理清楚。這樣就能和熱傳導方程的套路對比。

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🌊 聲波（機械縱波）推導套路

1. Kinematics（質量守恆 → 密度）

• 積分形：

$$\frac{d}{dt}\int_V \rho\, dV = -\oint_{\partial V} \rho \vec v \cdot \vec n \, dS$$

• 散度定理：

$$\partial_t \rho + \nabla\cdot(\rho \vec v)=0$$

• 線化：

$$\rho_t + \rho_0 \nabla\cdot \vec v=0$$

👉 「位置變化 ⇒ 密度變化」。

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2. Constitutive / flux（本構關係 → 壓力）

• 等熵本構（聲波假設）：

$$p' = c^2 \rho', \qquad c^2 = \Big(\frac{\partial p}{\partial \rho}\Big)_s$$

👉 「密度變化 ⇒ 壓力變化」。

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3. Balance（動量守恆 → 加速度）

• 積分形：

$$\frac{d}{dt}\int_V \rho \vec v \, dV = \oint_{\partial V}(-p \vec n)\, dS$$

• 散度定理：

$$\partial_t(\rho \vec v)+\nabla\cdot(\rho \vec v\otimes \vec v) = -\nabla p$$

• 線化：

$$\rho_0 \vec v_t = -\nabla p'$$

👉 「壓力不均 ⇒ 介質加速度」。

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4. 消元 → 波動方程

• 連續方程：$\rho_t + \rho_0 \nabla\cdot \vec v=0$

• 動量方程：$\rho_0 \vec v_t=-\nabla p'$

• 本構：$p'=c^2\rho'$

合併 → 消去 $\vec v,\rho'$：

$$\boxed{\,p_{tt}=c^2 \nabla^2 p\,,\qquad \rho_{tt}=c^2\nabla^2 \rho\,.}$$

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🔥 熱傳導（對照）

• 守恒：能量守恒

• flux：Fourier 定律 $\vec q=-k\nabla T$

• 散度定理：$\partial_t u + \nabla\cdot \vec q=Q$

• 結果 PDE：

$$T_t=\alpha \nabla^2 T$$

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✨ 對照表：聲波 vs 熱傳導

元素	聲波	熱傳導
守恒	質量、動量	能量
flux 定律	$p'=c^2 \rho'$（等熵）	$\vec q=-k\nabla T$（Fourier）
散度定理	壓力面力 $\to -\nabla p$	熱流面通量 $\to \nabla\cdot \vec q$
PDE	$p_{tt}=c^2\nabla^2 p$	$T_t=\alpha \nabla^2 T$
類型	波動方程（雙時間導）	擴散方程（單時間導）

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👉 所以：聲波與熱傳的推導完全是同一套路，只是本構關係不同，導致一個是「震盪傳播」（二階時間導數），另一個是「擴散傳播」（一階時間導數）。

要不要我把這個「聲波 vs 熱傳」的對照圖，畫成一張 三箭合一 → PDE 的流程圖？