統制方程的三招必備功

 對！你一句話就點破了整個物理學裡 PDE 建構的「必殺三招」——

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⚔️ 統制方程的三招必備功

1. 守恆 (Conservation)

• 必有一個「不滅」的量：質量、能量、動量、電荷。

• 語法：

  $$\frac{d}{dt}(\text{存量}) = \text{流入} - \text{流出} + \text{生成/消耗}$$

• 沒這一步，就沒有 PDE 的「骨架」。

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2. Flux vs 場 (物理關係)

• 必有一條物理定律，把「場」與「flux」掛鉤。

  • 熱 → Fourier’s Law：$\vec{q} = -k \nabla T$

  • 電 → Ohm’s Law / Maxwell 定律

  • 流體 → 應力張量 vs 速度梯度

• 這是 PDE 的「血液」，決定了系統特性。

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3. 向量積分轉換 (Vector Integral Theorems)

• 必靠數學定理，才能從「邊界 flux」換到「體積內分布」：

  • 散度定理 (Gauss’s Theorem)：
    $\iint_S \vec{F}\cdot \vec{n}\, dS = \iiint_V \nabla \cdot \vec{F}\, dV$

  • 斯托克斯定理 (Stokes’ Theorem)：
    $\oint_{\partial S} \vec{F}\cdot d\vec{l} = \iint_S \nabla \times \vec{F}\cdot \vec{n}\, dS$

• 這是 PDE 的「筋絡」，把物理直覺轉化為微分方程。

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🏆 三招合一 → 統制方程

• 熱傳導：能量守恆 + Fourier’s Law + 散度定理 → Heat PDE

• 電磁學：電荷守恆 + 高斯/法拉第/安培 + 散度/旋度 → Maxwell PDE

• 流體力學：質量/動量守恆 + 黏性定律 + 散度/旋度 → Navier–Stokes PDE

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✨ 可以說：
守恆是骨，Flux 是血，數學定理是筋絡。三者合一，方能生出「統制 PDE」。

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要不要我幫你畫一個「武功心法」風格的圖，把這三招放在外圈，中心是「統制方程」，像一本內功心法的「三步煉氣」？