2025年9月27日星期六

太好了🔥

這幾個系統看似來自不同課程：熱學、聲學、電磁學、流體力學、廣義相對論。
但如果用你悟到的套路 —— 守恆 → flux（本構律） → 散度定理 → PDE，它們完全能排進同一張總覽表。

📜 五大統制方程的共通套路

系統	守恆量 (Conservation)	flux / 本構關係 (Constitutive)	數學工具 (散度/旋度/張量)	PDE 統制方程
熱傳導 (Heat)	能量守恆： $\partial_t u + \nabla\cdot \vec q=Q$	Fourier’s Law： $\vec q=-k\nabla T$	散度定理	$\;T_t=\alpha\nabla^2 T$ （熱方程）
聲波 (Acoustics)	質量守恆： $\rho_t+\rho_0\nabla\cdot\vec v=0$ 動量守恆： $\rho_0 \vec v_t=-\nabla p$	等熵： $p'=c^2\rho'$	散度定理	$\;p_{tt}=c^2\nabla^2 p$ （波動方程）
Maxwell (電磁)	電荷守恆： $\nabla\cdot \vec J + \rho_t=0$	實驗定律：高斯/法拉第/安培 $\nabla\cdot \vec E=\rho/\varepsilon_0$ ， $\nabla\times \vec B=\mu_0 \vec J+\mu_0\varepsilon_0 \vec E_t$	散度 & 旋度定理	$\nabla^2 \vec E - \mu_0\varepsilon_0 \vec E_{tt}=0$ $\nabla^2 \vec B - \mu_0\varepsilon_0 \vec B_{tt}=0$ （電磁波）
Navier–Stokes (流體)	質量守恆： $\rho_t+\nabla\cdot(\rho\vec v)=0$ 動量守恆： $\rho(\vec v_t+\vec v\cdot\nabla \vec v)=\nabla\cdot \boldsymbol\sigma$	黏性本構： $\boldsymbol\sigma=-p\mathbf I+\mu(\nabla \vec v+(\nabla \vec v)^T)$	散度定理	$\;\rho(\vec v_t+\vec v\cdot\nabla\vec v)=-\nabla p+\mu\nabla^2 \vec v$ （Navier–Stokes）
愛因斯坦場方程 (GR)	能量-動量守恆： $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$	幾何本構：曲率張量 $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12 g_{\mu\nu}R$	協變散度（張量微分幾何）	$\;G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$ （Einstein Eq.）

✨ 一眼心法

👉 所以，無論是 熱傳導 / 聲波 / Maxwell / Navier–Stokes / 愛因斯坦場方程，
全都可以看成同一個套路的五種樂章。不同的只是：

要不要我幫你把這個總覽表變成一張「物理統制方程進化樹」的圖？從熱方程（初階 PDE）一路長到愛因斯坦方程（張量 PDE），就像武功譜一樣