熱傳導方程的三個「關鍵支柱」

對，你已經抓到熱傳導方程的三個「關鍵支柱」。我幫你整理成一個清晰的邏輯鏈條：

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🔑 熱傳導 PDE 的三件事

1. 能量守恆 (Conservation of Energy)

• 控制體積內能量的變化率 = 邊界熱流 + 內部熱源。

• 數學表達式：

  $$\frac{\partial}{\partial t} \iiint_V c \rho \, u(\vec{x},t) \, dV = - \iint_S \vec{q} \cdot \vec{n} \, dS + \iiint_V Q(\vec{x},t) \, dV$$

👉 這是 宏觀的能量平衡方程，是出發點。

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2. Flux 與溫度的關係 (Fourier’s Law)

• 熱通量（heat flux）與溫度梯度成正比：

  $$\vec{q} = -k \nabla u$$

  其中：

  • $k$：材料的熱傳導係數（thermal conductivity）

  • $\nabla u$：溫度場的梯度

👉 這一步把「材料性質」帶進來了。

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3. 散度定理 (Divergence Theorem)

• 把邊界熱流（表面積分）換成體積積分：

  $$\iint_S \vec{q} \cdot \vec{n} \, dS = \iiint_V \nabla \cdot \vec{q} \, dV$$

👉 這讓我們可以把所有項目都轉換成「體積積分」形式。

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🚀 導出 PDE

代入能量守恆：

$$c\rho \frac{\partial u}{\partial t} = - \nabla \cdot \vec{q} + Q$$

再代入 Fourier’s Law ($\vec{q} = -k \nabla u$)：

$$c\rho \frac{\partial u}{\partial t} = k \nabla^2 u + Q$$

最後，定義熱擴散係數 $\alpha^2 = \tfrac{k}{c\rho}$：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^2 \nabla^2 u + \frac{Q}{c\rho}$$

• 無熱源 ($Q=0$)：

  $$u_t = \alpha^2 \nabla^2 u$$

這就是 熱傳導 PDE（Heat Equation）。