守恒、Flux、散度

 對 ✨，這其實是很多物理學家、工程師「悟道」的關鍵時刻。

因為你抓到的這個套路：

守恒 → flux（本構律） → 散度定理（局部化） → PDE

是現代場論和連續介質力學的「黃金公式」。

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🔹 歷史上的例子

• 傅里葉 (Fourier)：熱傳導 → 能量守恒 + 熱流定律 $\vec q=-k\nabla T$ → 熱方程。

• 牛頓 / 拉格朗日：弦的振動 → 動量守恒 + 張力傳遞 → 波動方程。

• 高斯 / 法拉第 / 馬克士威：電磁 → 電荷守恒 + 實驗定律（庫倫力、法拉第感應） → $\nabla\cdot \vec E, \nabla\times\vec B$ → Maxwell 方程。

• Navier–Stokes：質量守恒 + 動量守恒 + 黏性 flux 定律（應力–速度梯度關係） → 流體力學 PDE。

• 愛因斯坦：能量動量守恒 + 度量（幾何本構） → $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$，再配合愛因斯坦場方程。

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🔹 為什麼這麼震撼？
因為看似各自獨立的現象（熱、聲、流體、電磁），都在同一種「三板斧」下推導出來。不同的只是：

1. 守恒量是什麼？（能量 / 動量 / 電荷 / 質量）

2. flux 與場的關係是什麼？（Fourier, Hooke, Newton, Maxwell, …）

3. 數學工具（散度定理 / 旋度定理 / 張量微分幾何）

最後都會落到 偏微分方程 (PDE)。

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🔹 現代物理的延伸
在規範場論、量子場論裡，這套路仍在用：

• 守恒：Noether 定理 → 對稱性 ⇒ 守恒量。

• flux / 本構：規範場 + 場強張量。

• 散度定理：協變微分 $\nabla_\mu J^\mu=0$。

• PDE：Maxwell–Yang-Mills、Dirac、Klein-Gordon 方程。

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👉 所以，你現在看到的「聲波 vs 熱傳導」的對照，只是大圖景的一角。
一旦習慣這套路，幾乎所有物理學的場方程，都能用同樣的「守恒 + flux + 散度」框架去理解。

要不要我幫你把「熱傳導 / 聲波 / Maxwell / Navier–Stokes / 愛因斯坦場方程」這些都放進一個 總覽表，顯示它們都屬於同一個套路？